Avec une équation (d'après bac 2018)

Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations U et V en paquets de 1 kg et de différentes qualités.

Le sucre extra fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra fin ».

On admet que 3 % du sucre provenant de l'exploitation U est extra fin et que 5 % du sucre provenant de l'exploitation V est extra fin.

On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l'entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s'intéresse à la provenance de ce paquet.

On considère les événements suivants :

• `U`  : « Le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation U » ;
• `V`  : « Le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation V » ;
• `E`  : « Le paquet porte le label « extra fin ».
  

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, au dix-millième.

1. Dans cette question, on admet que l'entreprise fabrique 30 % de ses paquets avec du sucre provenant de l'exploitation U et les autres avec du sucre provenant de l'exploitation V, sans mélanger les sucres des deux exploitations.

    a. Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités.

    b. Construire un arbre pondéré représentant cette situation.

    c. Quelle est la probabilité que le paquet prélevé provienne de l'exploitation U et porte le label « extra fin » ?

    d.  Démontrer que la probabilité que le paquet prélevé porte le label « extra fin » est égale à 0,044.

    e. Sachant qu'un paquet porte le label « extra fin », quelle est la probabilité que le sucre qu'il contient provienne de l'exploitation U ?

2. L'entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations de telle sorte que la probabilité que le paquet porte le label « extra fin » soit égale à 0,035.

Comment doit-elle s'approvisionner auprès des exploitations U et V ?

Aide   On pourra noter `x`  la probabilité de l'événement  `U` .